Question

設函數f（x）=x（x-a）（x-b）（a，b∈R）．
（Ⅰ）若b=2，證明函數f（x）有兩個不同的極值點x₁，x₂，并且x12+x22≥

5

3

；
（Ⅱ）若a=b（a≠0），且當x∈[0，|a|+1]時，f（x）＜2a²恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用求導法則求出f（x）的導函數，令f'（x）=0考慮到判別式大于零得到兩個極值點，設x₁＜x₂，討論函數的增減性得到x₁是極大值點，x₂是極小值點，從而利于韋達定理可證；
（Ⅱ） 利用導數法，求函數f（x）在[0，|a|+1]的最大值，從而可得不等式，進而可求a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當b=2時，f（x）=x（x-a）（x-2）=x³-（a+2）x²+2ax．f′（x）=3x²-2（a+2）x+2a．…（1分）
∵△=4（a+2）²-24a=4（a²-2a+4）=4（a-1）²+12＞0，
∴方程f'（x）=0有兩個不等的實數根x₁，x₂．…（3分）
不妨設x₁＜x₂，則  f′（x）=3（x-x₁）（x-x₂）．
當x＜x₁時，f′（x）＞0；當x₁＜x＜x₂時，f'（x）＜0；當x＞x₂時，f'（x）＞0．
∴x₁是f（x）的極大值點，x₂是f（x）的極小值點．…（4分）
并且，x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=

4

9

(a+2)2-

4

3

a=

4

9

(a2+a+4)=

4

9

(a+

1

2

)2+

5

3

≥

5

3

．
因此，函數f（x）有兩個不同的極值點x₁，x₂，并且x12+x22≥

5

3

（當且僅當a=-

1

2

時取等號）…（7分）
（Ⅱ）當a=b（a≠0）時，f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+ax．f′(x)=3x2-4ax+a=3(x-

1

3

a)(x-a)…（8分）
1若a＞02，則f（x）3在[0， 

1

3

a]4上增函數，在[

1

3

a， a]5上為減函數，在[a，a+1]6上為增函數．f（x）在[0，a+1]上的最大值為f(

1

3

a)與f（a+1）中的較大者．
而f(

1

3

a)=

4

27

a3，f（a+1）=a+1．
由f（x）＜2a²在[0，a+1]上恒成立，得

a＞0 4 27 a3＜2a2 a+1＜2a.

…（9分）
即1＜a＜

27

2

．…（11分）
②若a＜0，則f（x）在[0，1-a]上為增函數．f（x）在[0，1-a]上的最大值為f（1-a）=（1-a）（1-2a）²．
∵a＜0，∴1-a＞1，（1-2a）²＞（-2a）²=4a²＞2a²．
∴f（1-a）＞2a²．
因此，a＜0不可能．…（13分）
綜上所述，a的取值范圍是(1， 

27

2

)．…（14分）

點評：本題以函數為載體，考查學生求導數及利用導數研究函數極值的能力，靈活運用一元二次方程根與系數的關系解決數學問題的能力． 考查恒成立問題的處理策略，有一定的綜合性．