Question

已知函數，設正項數列a_n的首項a₁=2，前n 項和S_n滿足S_n=f（S_n-1）（n＞1，且n∈N^*）．
（1）求a_n的表達式；
（2）在平面直角坐標系內，直線l_n的斜率為a_n，且l_n與曲線y=x²相切，l_n又與y軸交于點D_n（0，b_n），當n∈N^*時，記，若，求數列c_n的前n 項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由知，所以數列是以為公差的等差數列．由此能求出a_n=4n-2（n∈N^*）．
（2）設l_n：y=a_nx+b_n，由，由方程有相等實根，知△=a_n²+4b_n=0，所以=-（2n-1）²，由此能夠求出T_n．
解答：解：（1）由得：，所以數列是以為公差的等差數列．
∴，S_n=2n²，a_n=S_n-S_n-1=4n-2（n≥2），又a₁=2．∴a_n=4n-2（n∈N^*）
（2）設l_n：y=a_nx+b_n，由，
據題意方程有相等實根，
∴△=a_n²+4b_n=0，
∴=-（2n-1）²，
當n∈N⁺時，=，
∴==，
∴T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n=
==．
點評：本題考查數列和函數的綜合應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．