Question

已知拋物線f（x）=ax²+bx+

1

4

與直線y=x相切于點A（1，1）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若對任意x∈[1，9]，不等式f（x-t）≤x恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據拋物線y=f（x）與直線y=x相切于點A（1，1）建立方程組，解之即可求出a和b，從而求出函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）將x-t代入解析式，得到不等關系(

x

-1)2≤t≤(

x

+1)2（1≤x≤9），從而t≤[(

x

+1)2]min=4且t≥[(

x

-1)2]max=4，即可求出實數t的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）依題意，有

f(1)=a+b+ 1 4 =1 f′(1)=2a+b=1

?a=

1

4

，b=

1

2

．
因此，f（x）的解析式為f（x）=(

x+1

2

)2；（6分）
（Ⅱ）由f（x-t）≤x（1≤x≤9）得(

x-t+1

2

)2≤x（1≤x≤9），解之得
(

x

-1)2≤t≤(

x

+1)2（1≤x≤9）
由此可得
t≤[(

x

+1)2]min=4且t≥[(

x

-1)2]max=4，
所以實數t的取值范圍是{t|t=4}．（12分）

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及函數解析式和函數恒成立等有關知識，屬于中檔題．