Question

設函數f（x）=ax-（1+a²）x²，其中a＞0，區間I={x|f（x）＞0}．
（1）當a在（0，+∞）變化時，求I的長度的最大值（注：區間（α，β）的長度定義為β-α）；
（2）給定一個正數k，當a在[k，1+2k]變化時，I長度的最小值為

5

26

，求k的值；
（3）若f（x+1）+f（x）≤

2

3

f（1）對任意x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）解不等式f（x）＞0可得區間I，由區間長度定義可得I的長度，然后利用基本不等式可求出I的長度的最大值；
（2）利用導數研究函數在區間[k，1+2k]上的單調性，討論k，根據I長度的最小值為

5

26

，建立關系式，從而求出k的值；
（3）根據函數f（x）的解析式將f（x+1）+f（x）≤

2

3

f（1）對任意x恒成立轉化成，6（1+a²）x²+6（1-a+a²）x+a²+1-a≥0，對任意x恒成立，然后利用二次函數恒成立的方法求解即可．

解答：解：（1）∵方程ax-（1+a²）x²=0（a＞0）有兩個實根x₁=0，x₂=

a

1+a2

＞0，
∴f（x）＞0的解集為{x|x₁＜x＜x₂}，
∴區間I=（0，

a

1+a2

），區間長度為

a

1+a2

，
∵

a

1+a2

=

1

a+ 1 a

≤

1

2 a× 1 a

=

1

2

，當且僅當a=1時取等號，
∴I的長度的最大值為

1

2

；
（2）令I的長度為g（a）=

a

1+a2

，g′（a）=

1-a2

(1+a2)2

，
令g′（a）=0，得a=1，
①當0＜k≤1時，
當k≤a＜1時，g′（a）＞0，g（a）單調遞增，
當1＜a≤1+2k時，g′（a）＜0，g（a）單調遞減，
∴當k≤a≤1+2k時，g（a）的最小值必定在a=k或a=1+2k處取得，
當g（k）=

k

1+k2

=

5

26

時，解得k=

1

5

或5（舍去），
當g（1+2k）=

1+2k

1+(1+2k)2

=

5

26

，解得k=2或-

2

5

，不符合題意，
②當k＞1時，
當k≤a≤1+2k時，g′（a）＜0，g（a）單調遞減，
∴當a=1+2k時，g（a）取最小值

5

26

，即g（1+2k）=

1+2k

1+(1+2k)2

=

5

26

，解得k=2或-

2

5

（舍去），
綜上所述：k=

1

5

或2；
（3）∵f（x）=ax-（1+a²）x²（a＞0），f（x）＞0，＜═＞0＜x＜

a

1+a2

，
∵f（x+1）+f（x）≤

2

3

f（1），
∴a（x+1）-（1+a²）（x+1）²+ax-（1+a²）x²≤

2

3

[a-（1+a²）]，
整理得6（1+a²）x²+6（1-a+a²）x+a²+1-a≥0，對任意x恒成立，
∴△=[6（1-a+a²）]2-4×6（1+a²）（a²+1-a）≤0，即a²-3a+1≤0，
解得：

3- 5

2

≤a≤

3+ 5

2

，
∴a的取值范圍是[

3- 5

2

，

3+ 5

2

]．

點評：本題考查二次不等式的求解，以及導數的計算和應用等基礎知識和基本技能，考查分類討論思想和綜合運用數學知識解決問題的能力．屬于難題．