Question

（本小題滿分14分）

如圖，已知橢圓過點（1，），離心率為 ，左右焦點分別為.點為直線：上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為和為坐標原點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設直線、斜率分別為.

（ⅰ）證明：

（ⅱ )問直線上是否存在一點，使直線的斜率滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（ Ⅱ ）（ⅰ）證明見解析

（ⅱ ) 滿足條件的點P的坐標分別為，（，）。

【解析】本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系，直線的斜率等知識，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力以及數形結合、分類討論數學思想，。其中問題（Ⅱ）是一個開放性的探索問題，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力。

【答案】

（Ⅰ）解：因為橢圓過點（1，），e=，

         所以，.

又，

所以

故所求橢圓方程為 .

（II）(1)證明：

方法一：由（1,0），（1,0）,PF_1,PF₂的斜率分別為,，且點p不在 x軸上。

所以,

有直線,的方程分別為,

聯立方程解得

所以

由于點P在直線上

所以

因此

即，結論成立

方法二:

因為點P不在x軸上，所以

又

所以

因此結論成立---------------------------------------------------

 

（ⅱ）解：設，，，.

      聯立直線與橢圓的方程得

      化簡得

      因此 

      由于  的斜率存在，

      所以  ，因此

       因此

                   

相似地可以得到

故

若，須有=0或=1.

① 當=0時，結合（ⅰ）的結論，可得=－2，所以解得點P的坐標為（0，2）；

② 當=1時，結合（ⅰ）的結論，可得=3或=－1（此時=－1，不滿足≠，舍去 ），此時直線CD的方程為，聯立方程得，

因此   .

綜上所述，滿足條件的點P的坐標分別為，（，）。