Question

（2013•臨沂二模）已知定義在R上的函數y=f（x）對任意的x都滿足f（x+1）=-f（x），當-1≤x＜1時，f（x）=x³，若函數g（x）=f（x）-log_a|x|至少6個零點，則a取值范圍是（　　）

• A．(0，

  1

  5

  ]∪(5，+∞)
• B．(0，

  1

  5

  )∪[5，+∞)
• C．(

  1

  7

  ，

  1

  5

  ]∪(5，7)
• D．(

  1

  7

  ，

  1

  5

  )∪[5，7)

Answer 1

分析：函數g（x）=f（x）-log_a|x|的零點個數，即函數y=f（x）與y=log₅|x|的交點的個數，由函數圖象的變換，分別做出y=f（x）與y=log_a|x|的圖象，結合圖象可得log_a5＜1 或 log_a5≥-1，由此求得a的取值范圍．

解答：解：函數g（x）=f（x）-log_a|x|的零點個數，即函數y=f（x）與y=log_a|x|的交點的個數；
由f（x+1）=-f（x），可得f（x+2）=f（x+1+1）=-f（x+1）=f（x），
故函數f（x）是周期為2的周期函數，
又由當-1≤x＜1時，f（x）=x³，據此可以做出f（x）的圖象，
y=log_a|x|是偶函數，當x＞0時，y=log_ax，則當x＜0時，y=log_a（-x），做出y=log_a|x|的圖象，
結合圖象分析可得：要使函數y=f（x）與y=log_a|x|至少有6個交點，
則 log_a5＜1 或 log_a5≥-1，解得 a＞5，或 0＜a≤

1

5

，
故選A．

點評：本題考查函數圖象的變化與運用，涉及函數的周期性，對數函數的圖象等知識點，關鍵是作出函數的圖象，由此分析兩個函數圖象交點的個數．