Question

已知等比數列的公比為，是的前項和．

（1）若，，求的值；

（2）若，，有無最值？并說明理由；

（3）設，若首項和都是正整數，滿足不等式：，且對于任意正整數有成立，問：這樣的數列有幾個？

 

Answer 1

【答案】

（1）;（2）有最大值為，最小值為;（3）個． 

【解析】

試題分析：（1）根據等比數列前項和公式，可見要對分類討論，當時，，，，從而不難求出;當時，，，，即可利用根據定義求出;（2）根據題意可求出數列的前項和，要求出的最值，可見要分和兩種情況進行討論，當時利用單調性即可求出的最值情況，當時，由于將隨著的奇偶性正負相間，故又要再次以的奇偶數進行討論，再利用各自的單調性即可求出的最值; （3）首先由含有的絕對值不等式可求出的范圍，再用表示出，由單調性不難求出的最小值，即，故并分別代入進行，依據就可求出的范圍，最后結合是正整數，從而確定出的個數．

試題解析：（1）當時，，，                     2分

當時，，，               4分

所以（可以寫成；

（2）若，，則，

當時，，所以隨的增大而增大，

而，此時有最小值為1，但無最大值．         6分

當時，

①時，，所以隨的增大而增大，

即是偶數時，，即：；       8分

②時，，

即：，所以隨的增大而減小，

即是奇數時，，即：；

由①②得：，有最大值為，最小值為．        10分

（3）由得，所以，                  11分

，隨著的增大而增大，故，

即：，，得．                   13分

當時，

，

又，得共有個；                       15分

當時，

 

又，得共有個；                       17分

由此得：共有個．                               18分

考點：1.等比數列的求和公式;2.數列的極限;3.數列與函數的結合