Question

（2009•孝感模擬）已知函數f(x)=

1-a+lnx

x

，a∈R
（1）求f（x）的極值；
（2）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）若f（x）-e=0在[

1

e2

，1]上有唯一實根，求實數a的范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）進行求導，令導函數等于0求出x的值，再根據導函數的正負判斷函數的單調性，進而確定極值．
（2）將問題轉化為

lnx

x

＜k在（0，+∞）上恒成立的問題，然后求函數 g(x)=

lnx

x

(x＞0)．的最大值，令k大于這個最大值即可．
（3）由f（x）-e=0得a=1+lnx-ex，令g（x）=1+lnx-ex，x∈[

1

e2

，1]，然后利用導數研究函數g（x）在[

1

e2

，1]上的單調性和極值即可求出所求．

解答：解：（1）∵f/(x)=

a-lnx

x2

，令f′（x）=0，∴x=e^a------------------------------------------------（2分）
由下表：

x	（0，ea）	ea	（ea，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

∴f（x）的極大值為f(ea)=

1-a+a

ea

=e-a
故f（x）的最大值為e^-a．-------------------------------------------------------（4分）
（2）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，∴k＞

lnx

x

在（0，+∞）上恒成立∴k＞[

lnx

x

]max-------------（6分）
由（1）：令a=1，則f(x)=

lnx

x

，∴[

lnx

x

]max=

1

e

∴k＞

1

e

--------------------------（8分）
（3）由f（x）-e=0得a=1+lnx-ex，令g（x）=1+lnx-ex，x∈[

1

e2

，1]------------------------------（10分）
則g′(x)=

1

x

-e，由g′（x）=0 得x=

1

e

，
當x∈[

1

e2

，

1

e

)：g′(x)＞0，∴g（x）單調遞增；當x∈(

1

e

，1]：g′(x)＜0，∴g（x）單調遞減．
且g(

1

e2

)=1+ln

1

e2

-e•

1

e2

=-1-

1

e

，g(

1

e

)=1+ln

1

e

-e•

1

e

=-1，g（1）=1-e∵g(

1

e2

)-g(1)=-2+e-

1

e

=

e2-2e-1

e

=

(e-1)2-2

e

＜0∴g(

1

e2

)＜g(1)
由題意得：a∈[g(

1

e2

)，g(1)]∪{g(

1

e

)}
即a∈[-1-

1

e

，1-e)∪{-1}--------------------------------------------------------（13分）

點評：本題主要考查函數的單調性、極值點與其導函數之間的關系．導數是高考的熱點問題，每年必考，要給予重視．