Question

已知函數f（x）=x+

a

x

（x＞0），a為常數，且a≠0．
（1）研究函數y=f（x）的單調性，并說明理由；
（2）如果函數y=f（x）的值域為[6，+∞），求a的值．

Answer 1

分析：（1）由函數的解析式f（x）求出導函數，然后分a小于0和a大于0兩種情況，分別令導函數大于0列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍即為函數的遞增區間；令導函數小于0列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范圍即為函數的遞減區間；（2）由（1）知，當a小于0時，函數在區間（0，+∞）上單調遞增，值域為R，不合題意；當a大于0時，根據函數的增減性得到函數的最小值為f（

a

），求出f（

a

）的值即可得到函數的值域，又函數的值域為[6，+∞），所以得到f（

a

）的值等于6，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：（1）由f（x）=x+

a

x

，得f′(x)=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，
當a＜0時，f′(x)=

x2-a

x2

＞0恒成立，所以函數y=f（x）在（0，+∞）上為增函數；
當a＞0時，令f′(x)=

x2-a

x2

＞0，解得x＞

a

，令f′(x)=

x2-a

x2

＜0，解得0＜x＜

a

，
所以函數y=f（x）在(0，

a

)上為減函數；在(

a

，+∞)上為增函數．
（2）由（1）可知當a＜0時，函數y=f（x）在（0，+∞）上為增函數，此時函數的值域為R，不合題意；
當a＞0時，函數y=f（x）在(0，

a

)上為減函數；在(

a

，+∞)上為增函數，
此時函數的值域為[2

a

，+∞)，即2

a

=6，a=9．
綜上，a=9．

點評：此題考查學生會利用導函數的正負得到函數的單調區間，會根據函數的增減性得到函數的最值，掌握導數在最值問題中的應用，是一道綜合題．