Question

已知A、B分別為曲線C：

x2

a2

+y²=1（a＞0）與x軸的左、右兩個交點，直線l過點B且與x軸垂直，P為l上異于點B的點，連接AP與曲線C交于點M．
（1）若曲線C為圓，M為圓弧

AB

的三等分點，試求點P的坐標；
（2）設N是以BP為直徑的圓與線段BM的交點，若O、N、P三點共線，求a的值．

Answer 1

分析：（1）若曲線C為圓，根據M為圓弧

AB

的三等分點，可求出M點坐標，則直線AM方程就可求出，在與x=1聯立，就可求出P點坐標．
（2）先設出M（x₀，y₀），可求出直線AM方程，再于直線x=a聯立，即可得P點坐標，進而求出直線OP，BM方程，因為N是以BP為直徑的圓與線段BM的交點，且O、N、P三點共線可得OP⊥BM，得到兩直線斜率的關系，即可解出a的值．

解答：解：（1）當曲線C為圓時，a=1．
由M為圓弧

AB

的三等分點，知∠BOM=60°或120°
當∠BOM=60°時，在△PAB中，∠PAB=60°，AB=2，PB=ABtan30°=

2 3

3

∴P（1，±

2 3

3

）
同理，當∠BOM=120°時，P（1，± 2

3

）
（2）∵A（-a，0），B（a，0），設M（x₀，y₀）
則l_AM：y=

y0

x0+a

（x+a），∴P（a，

2ay0

x0+a

）
l_OP：y=

2y0

x0+a

x，l_BM=

y0

x0-a

（x-a）
∵O、N、P三點共線且N是以BP為直徑的圓與線段BM的交點．∴OP⊥BM
∴k_OP•k_BM=-1
即

2y0

x0+a

y0

x0-a

=-1，得，2y₀²=a²-x₀²，即

x02

a2

+

2y02

a2

=1①
又∵點M在曲線C上，∴

x02

a2

+y02=1②
由①②解得a=

2

點評：本題考查了直線與圓，與橢圓的位置關系，做題時應細心，避免答錯．