Question

已知是中心在坐標原點的橢圓的一個焦點，且橢圓的離心率為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設：、為橢圓上不同的點，直線的斜率為；是滿足（）的點，且直線的斜率為．
①求的值；
②若的坐標為，求實數的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）①；②實數的取值范圍是.

試題分析：（Ⅰ）先根據題中的已知條件以及、、三者之間的關系求出、、的值，從而確定橢圓的方程；（Ⅱ）①解法一是利用斜率公式先將、利用點和的坐標進行表示，然后借助點差法求出的值；解法二是將直線的方程假設出來，借助韋達定理與這一條件確定與之間的關系，進而從相關等式中求出的值；②先確定直線的斜率，然后假設直線的方程為，利用韋達定理確定與之間的等量關系，再利用直線與橢圓有兩個不同的公共點結合確定實數的取值范圍，進而得到實數的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）依題意，可設橢圓的方程為（），      1分
由，，得，
由，可得，      3分
故橢圓的方程為．      4分
（Ⅱ）解法一：①由、且存在，得，      5分
由，且存在，得，
則.      6分
∵，在橢圓上，∴，，   7分
兩式相減得，，
∴．      8分
②若的坐標為，則，由①可得.
設直線（），
由得，      9分
所以.
∵，∴，.     10分
又由，解得，      11分
∴且．      12分
解法二：①設直線（），
若，則
由滿足（，），得，
∵直線的斜率存在，∴.     5分
由得  (*).     6分
∵、，∴.    7分
∵，滿足，
∴直線的斜率，
經化簡得.     9分
②若的坐標為，則，由①可得.    10分
∴方程(*)可化為，
下同解法一.