Question

設集合A={a，a²，b²-1}，B={0，|a|，b}，且A=B．
（1）求a，b的值；
（2）求函數f(x)=-bx-

a

x

的單調遞增區間，并證明．

Answer 1

分析：（1）觀察集合關系，由于兩集合相等，發現其對應特征，建立方程求出a，b的值
（2）將a，b的值代入，先判斷單調性，再用定義法證明即可．

解答：解：（1）兩集合相等，觀察發現a不能為O，故只有b²-1=0，得b=-1，或b=1
當b=-1時，故b與a對應，所以a=-1，
如果b=1則必有|a|=1，B不成立；
故a=-1，b=-1…4分
（2）由（1）得f(x)= x+

1

x

，因為x∈R時，當x＞0時，f(x)= x+

1

x

≥2，x=1時取得最小值，
函數f(x)= x+

1

x

的單調增區間為（-∞，-1]，[1，+∞）；函數是奇函數，單調減區間為：（-1，0），（0，1）．
①在[1，+∞）是增函數
任取x₁，x₂∈[1，+∞）令x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，又x₁x₂＞1，故1-

1

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
故f(x)= x+

1

x

，在[1，+∞）是增函數．
因為函數f(x)= x+

1

x

是奇函數，所以（-∞，-1]也是增函數；…8分
②函數在x∈（0，1）時，
任取x₁，x₂∈（0，1），令x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）
∵0＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，又1＞x₁x₂＞0，故1-

1

x1x2

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
故f(x)= x+

1

x

，在（0，1）是減函數．
因為函數f(x)= x+

1

x

是奇函數，所以（-1，0）也是減函數．
綜上函數f(x)= x+

1

x

的單調增區間為（-∞，-1]，[1，+∞）；
單調減區間為：（-1，0），（0，1）．…12分

點評：本題考查集合相等的概念以及函數單調性的證明方法--定義法，解答第二小問時要注意步驟，先判斷再證明，注意分類討論思想的應用．