Question

（本小題滿分14分）已知函數
（Ⅰ）若，試確定函數的單調區間；
（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實數的取值范圍；
（Ⅲ）設函數，求證：．

Answer 1

（Ⅰ）的單調遞增區間是，的單調遞減區間是．
（Ⅱ）． （Ⅲ）見解析。

解析試題分析：（1）求出函數的導數，只要解導數的不等式即可，根據導數與0的關系判斷函數的單調性；
（2）函數f（|x|）是偶函數，只要f（x）＞0對任意x≥0恒成立即可，等價于f（x）在[0，+∞）的最小值大于零．
（3），
，利用指數不等式放縮的都證明。
解：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的單調遞增區間是，
由得，故的單調遞減區間是．（6分）（3分）
（Ⅱ）由可知是偶函數．
于是對任意成立等價于對任意成立．（8分）（5分）
由得．
①當時，．此時在上單調遞增．
故，符合題意． （10分）（7分）
②當時，．當變化時的變化情況如下表

	單調遞減	極小值	單調遞增

 
由此可得，在上，．
依題意，，又．（13分）（9分）
綜合①，②得，實數的取值范圍是．（14分）（10分）
（Ⅲ）