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如圖，在直角梯形ABCP中，,D是AP的中點(diǎn)，E,G分別為PC,CB的中點(diǎn)，將三角形PCD沿CD折起，使得PD垂直平面ABCD.（1）若F是PD的中點(diǎn)，求證：AP平面EFG;（2）當(dāng)二面角G-EF-D的大小為時(shí)，求FG與平面PBC所成角的余弦值.

（1）詳見解析，（2）

解析試題分析：（1）證明線面平行，關(guān)鍵找線線平行.因?yàn)楸绢}條件涉及中點(diǎn)較多，宜從中位線性質(zhì)出發(fā)尋找.如取AD中點(diǎn)M，則有又所以平面=平面.本題也可從證面面平行出發(fā)，推出線面平行.（2）已知二面角平面角，求線面角，宜利用空間向量解決.先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，,,,,設(shè),利用二面角G-EF-D的大小為求出，再利用空間向量數(shù)量積求線面角. 利用空間向量求角，關(guān)鍵是正確表示平面的法向量，明確向量夾角與二面角或線面角之間關(guān)系.
試題解析：(1)證明：是的中點(diǎn)時(shí),////,//,//平面,
//平面,,平面//平面,平面,
//平面.                       (6分)
(2)建立如圖所示的坐標(biāo)系,則有,,,,設(shè),

,,平面的法向量,則有
,解得. .
平面的法向量,依題意,
,
.于是.
平面的法向量,,
,則有
,解得. .
與平面所成角為,則有,
故有.                        (12分)
考點(diǎn)：線面平行判定定理，利用空間向量求角

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如下圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE與平面ABCD所成的角為60°.

(1)求證：AC⊥平面BDE；
(2)求二面角F－BE－D的余弦值；
(3)設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

（1）證明：PA⊥BD；
（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四棱錐P—ABCD中，PD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=2，PD=，M為棱PB的中點(diǎn)．

(1)證明：DM平面PBC；
(2)求二面角A—DM—C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱底面，過(guò)作垂直交于點(diǎn)，作垂直交于點(diǎn)，平面交于點(diǎn)，且，.

（1）設(shè)點(diǎn)是上任一點(diǎn)，試求的最小值；
（2）求證：、在以為直徑的圓上；
（3）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，⊥底面．
 
(1)證明：平面平面；
(2)若二面角為，求與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知的直徑，點(diǎn)、為上兩點(diǎn)，且，，為弧的中點(diǎn)．將沿直徑折起，使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直（如圖2）．

（1）求證：；
（2）在弧上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，試指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．

（1）證明：平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求二面角Q—BP—C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖甲，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，E，D分別為AB、AC靠近B、C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)G為BC邊的中點(diǎn)．線段AG交線段ED于F點(diǎn)，將△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，連接AB、AC、AG形成如圖乙所示的幾何體。

（1）求證BC⊥平面AFG；
（2）求二面角B－AE－D的余弦值．

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