Question

（2012•上高縣模擬）如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點F₂與拋物線y²=4x的焦點重合，過F₂作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S，T，而與拋物線交于C，D兩點，且

|CD|

|ST|

=2

2

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若過m（2，0）的直線與橢圓E相交于兩點A和B，設P為橢圓E上一點，且滿足

OA

+

OB

=t

OP

（O為坐標原點），求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由焦點F₂（1，0），過F₂作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S，T，而與拋物線交于C，D兩點，且

|CD|

|ST|

=2

2

，知|CD|=4，|ST|=

2

，由此能求出橢圓方程．
（2）設過m（2，0）的直線為y=k（x-2），由

x2+2y2=2 y=k(x-2)

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），

x1+x2=tx0 y1+y2=ty0

，由此結合題設條件能求出實數t的取值范圍．

解答：解：（1）∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點F₂與拋物線y²=4x的焦點重合，
∴焦點F₂（1，0），
∵過F₂作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S，T，而與拋物線交于C，D兩點，且

|CD|

|ST|

=2

2

．
∴|CD|=4，解得|ST|=

2

，
∴a=

2

，b=1，c=1，
∴橢圓E的方程是

x2

2

+y2=1．
（2）設過m（2，0）的直線為y=k（x-2），
由

x2+2y2=2 y=k(x-2)

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），

x1+x2=tx0 y1+y2=ty0

，
則

x0= 1 t (x1+x2)= 1 t • 8k2 1+2k2 y0= 1 t (y1+y2)= 1 t (kx1-2k+kx2-2k)= 1 t • -4k2 1+2k2

，
2=x02+2y02=

1

t2

[(

8k2

1+2k2

)2+

32k2

(1+2k2)2

]，
∴

1

8

t2=

4k4+2k2

(1+2k2)2

，
∵△=（8k²）²-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，
∴0≤2k²＜1，

1

8

t2=

(2k2)2+2k2

(1+2k2)2

=1-

1

1+2k2

，
∴t∈（-2，2）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．