Question

已知A（0，1）、B（0，2）、C（4t，2t²-1）（t∈R），⊙M是以AC為直徑的圓，再以M為圓心、BM為半徑作圓交x軸交于D、E兩點．
（Ⅰ）若△CDE的面積為14，求此時⊙M的方程；
（Ⅱ）試問：是否存在一條平行于x軸的定直線與⊙M相切？若存在，求出此直線的方程；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求

BD

BE

+

BE

BD

的最大值，并求此時∠DBE的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意求出圓心M的坐標、半徑BM的長度，用t圓方程求交x軸的弦長，再由△CDE的面積為14求出t．
（Ⅱ）先假設存在一條平行于x軸的定直線與⊙M相切，再利用圓心M到直線的距離等于半徑M，求解．
（Ⅲ）對式子

BD

BE

+

BE

BD

通分后觀察特點，在△BDE中，設∠DEB=θ，用三角形的面積相等和余弦定理用θ表示所求的式子，再進行整理后由正弦函數的單調性求最大值及θ．

解答：解：（Ⅰ）由題意得，B（0，2）、M（2t，t²），
∴|BM|=

(2t)2+(t2-2)2

=

t4+4

；
∴以M為圓心、BM為半徑的圓方程為（x-2t）²+（y-t²）²=t⁴+4，
∴其交x軸的弦DE=2

t4+4-t4

=4，
∴S△CDE=

1

2

DE•(2t2-1)=14，解得，t=±2，
∴⊙M的方程為（x±4）²+（y-4）²=20；
（Ⅱ）假設存在存在一條平行于x軸的定直線與⊙M相切；
∵MA=

(2t)2+(t2-1)2

=t2+1，y_M=t²，
∴存在一條平行于x軸的定直線y=-1與⊙M相切；
（Ⅲ）在△BDE中，設∠DBE=θ，且DE為弦，故θ∈(0，

π

2

]，
由（Ⅰ）得，DE=4，在△BDE中，DE邊上的高為2；
由三角形的面積相等得：
S△BDE=

1

2

BD•BE•sinθ=

1

2

×4×2=4，
∴BD•BE=

8

sinθ

；
由余弦定理得，DE²=BD²+BE²-2BD•BE×cosθ，
∴BD2+BE2-16=2×

8

sinθ

×cosθ，
∴BD2+BE2=

16

sinθ

cosθ+16，
∴

BD

BE

+

BE

BD

=

BD2+BE2

BD•BE

=2sinθ+2cosθ=2

2

sin(θ+

π

4

)，θ∈(0，

π

2

]，
故當θ=

π

4

時，

BD

BE

+

BE

BD

的最大值為2

2

．

點評：本題的前兩問屬于基礎題，考查了圓的方程、求弦長、直線與圓相切問題；第三問的知識跨度大，考查了正（余）弦定理，正（余）弦和差公式以及三角函數的單調性，注意角的范圍；是綜合性很大的題目．