Question

(08年莆田四中二模理)（12分）已知，如圖四棱錐中，底面是平行四邊形，，垂足在上，且，，，，是的中點.

（1）求異面直線與所成的角；

（2）求點到平面的距離；

（3）若點是棱上一點，且，求的值.

Answer 1

解析：解法一：（1）在平面內，過點作交于，連結，

則（或其補角）就是異面直線與所成的角.

在中，，

由余弦定理得，=

∴異面直線與所成的角為arccos

（2）∵平面，平面∴平面⊥平面

在平面內，過作，交延長線于，則⊥平面

∴的長就是點到平面的距離

在，∴點到平面的距離為

（3）在平面內，過作，為垂足，連結，又因為

∴平面， ∴

 

由平面⊥平面，∴⊥平面 ∴

由得：

解法二：（1）由已知∴

如圖所示，以G點為原點建立空間直角坐標系o―xyz，則

，，故

∴異面直線與所成的角為arccos  4分

（2）平面PBG的單位法向量

∴點到平面的距離為  ------------- 8分

（3）設

在平面內過點作，為垂足，則     -------------   12分