Question

已知數列{x_n}的首項x₁=3，通項x_n=2ⁿp+nq（n∈N^*，p，q為常數），且x₁，x₄，x₅成等差數列．求：
（Ⅰ）p，q的值；
（Ⅱ）數列{x_n}前n項和S_n的公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據x₁=3，求得p，q的關系，進而根據通項x_n=2ⁿp+np（n∈N*，p，q為常數），且成等差數列．建立關于p的方求得p，進而求得q．
（Ⅱ）進而根據（1）中求得數列的首項和公差，利用等差數列的求和公式求得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵x₁=3，
∴2p+q=3，①
又x₄=2⁴p+4q，x₅=2⁵p+5q，且x₁+x₃=2x₄，
∴3+2⁵p+5q=2⁵p+8q，②
聯立①②求得 p=1，q=1
（Ⅱ）由（1）可知x_n=2ⁿ+n
∴S_n=（2+2²+…+2ⁿ）+（1+2+…+n）
=2n+1-2+

n(n+1)

2

．

點評：本題主要考查等差數列和等比數列的基本知識，考查運算及推理能力．