Question

已知k＞0，函數(shù)f（x）=kx²-lnx在其定義域上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A、k＞

  e

  2

• B、0＜k＜

  e

• C、k＞

  2

  2

  e
• D、0＜k＜

  1

  2e

Answer 1

分析：設(shè)函數(shù)g（x）=kx²與函數(shù)u（x）=lnx的圖象相切時(shí)，k=k₁，則當(dāng)0＜k＜k₁時(shí)，函數(shù)f（x）=kx²-lnx在其定義域上有兩個(gè)零點(diǎn)．

解答：解：設(shè)g（x）=kx²與函數(shù)u（x）=lnx的圖象相切
設(shè)（m，n）為兩個(gè)函數(shù)圖象的公切點(diǎn)
∵g'（x）=2kx，u'（x）=

1

x

則g'（m）=2km=u'（m）=

1

m

則m=

1 2k

此時(shí)n=ln

1 2k

即ln

1 2k

=k•

1

2k

=

1

2

解得：k=

1

2e

故函數(shù)f（x）=kx²-lnx在其定義域上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是0＜k＜

1

2e

故選D

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖形有兩個(gè)交點(diǎn)，我們關(guān)鍵問題是找到兩個(gè)函數(shù)的圖象相切（即只有一個(gè)交點(diǎn)）時(shí)參數(shù)的值，即確定參數(shù)取值范圍的端點(diǎn)．