Question

已知數列a_n滿足遞推關系式：2a_n+1=1-a_n²（n≥1，n∈N），且0＜a₁＜1．
（1）求a₃的取值范圍；
（2）用數學歸納法證明：（n≥3，n∈N）；
（3）若，求證：（n≥3，n∈N）．

Answer 1

解：（1）∵，且a₁∈（0，1），由二次函數性質可知a₂∈（0，）．
∵及∴
（2）證明：①在（1）的過程中可知n=3時，，
則-，
于是當n=3時，成立．
②假設在n=k（k≥3）時，（*）成立，即．
則當n=k+1時，=，
其中0＜
于是，
從而n=k+1時（*）式得證．
綜合①②可知：n≥3，n∈{N}時．

（3）由變形為：，
而由（n≥3，n∈N）
可知：在n≥3上恒成立，
于是，
又∵，∴，
從而原不等式（n≥3，n∈N）得證．（14分）
分析：（1）由題設知，且a₁∈（0，1），由二次函數性質可知a₂∈（0，）．由此能求出a₃的取值范圍；（2）用數學歸納法進行證明，證明過程中要注意合理地進行等價轉化．
（3）由變形為：，由此入手能夠得到證明．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，挖掘題設中的隱含條件，注意數學歸納法的解題過程．