Question

已知P（1，2）為圓x²+y²=9內一定點，過P作兩條互相垂直的任意弦交圓于點B、C，則BC中點M的軌跡方程為

 

．

Answer 1

分析：設M（x，y），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由題意知x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y=2y，x₁²+y₁²=9，x₂²+y₂²=9，再由PB⊥PC，得到x₁x₂+y₁y₂-2（y₁+y₂）-（x₁+x₂）+5=0，由此可知M軌跡方程．

解答：解：設M（x，y），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y=2y，且x₁²+y₁²=9，x₂²+y₂²=9，
所以（x₁+x₂）²=x₁²+x₂²+2x₁x₂，（y₁+y₂）²=y₁²+y₂²+2y₁y₂，
上兩式相加，得（2x）²+（2y）²=9+9+2x₁x₂+2y₁y₂，所以x₁x₂+y₁y₂=2x²+2y²-9
又PB⊥PC，所以

y2-2

x2-1

•

y1-2

x1-1

=-1，
得到x₁x₂+y₁y₂-2（y₁+y₂）-（x₁+x₂）+5=0，
代入得2x²+2y²-9-4y-2x+5=0，
所以M軌跡方程為x²+y²-x-2y-2=0．

點評：本題考查軌跡方程的求法，解題時要認真審題，仔細解答．