Question

如圖,四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ACB＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，

PA=BC=1，PD=AB=,E、F分別為線段PD和BC的中點．

（Ⅰ） 求證：CE∥平面PAF；

（Ⅱ）在線段BC上是否存在一點G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°？若存在，試確定G的位置；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）先證明EC∥HF即可              （Ⅱ）存在

【解析】

試題分析：（1）取PA中點為H，連結CE、HE、FH，

因為H、E分別為PA、PD的中點，所以HE∥AD,,

因為ABCD是平行四邊形，且F為線段BC的中點 , 所以FC∥AD,

所以HE∥FC, 四邊形FCEH是平行四邊形 ,所以EC∥HF

又因為   

所以CE∥平面PAF.        

（2）因為四邊形ABCD為平行四邊形且∠ACB＝90°，

所以CA⊥AD ,又由平面PAD⊥平面ABCD可得 CA⊥平面PAD , 

所以CA⊥PA , 由PA=AD=1，PD=可知，PA⊥AD,                   

所以可建立如圖所示的平面直角坐標系A-xyz, 因為PA=BC=1，AB=所以AC="1" .     

所以.

假設BC上存在一點G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°，

設點G的坐標為（1，a，0），    所以

設平面PAG的法向量為，

則令 所以，

又設平面PCG的法向量為，

則令所以 ，       

因為平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°，所以

  所以又所以, 

所以線段BC上存在一點G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°.

點G即為B點.

考點：直線與平面平行  二面角

點評：本題考查線面平行，考查面面角，考查學生的計算能力，正確作出面面角是關鍵．