Question

已知非零向量列{a_n}滿足：a₁=（1，1），且a_n=（x_n，y_n）=

1

2

（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1） （n＞1，n∈N），令|a_n|=b_n．
（Ⅰ）證明：數列{b_n}是等比數列，并求{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）對n∈N*，設c_n=b_nlog₂b_n，試問是否存在正整數m，使得c_m＜c_m+1？若存在，請求出m的最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）要證數列b_n為等比數列，利用了等比數列的定義，由題意找數列b_n和相鄰項b_n+1的比為常數，并利用等比數列通項公式求其通項
（II）由題意應先求出c_n，由題意在建立c_n與c_n+1之間的不等關系，利用作差的等價轉化思想求解關于m不等式，再利用m的范圍逼出m的最小值

解答：（I）證明：b_n=|a_n|=

x 2 n + y 2 n

，
b_n+1=|a_n+1|=

x 2 n+1 + y 2 n+1

=

( xn-yn 2 )2+( xn+yn 2 )2

=

1 2 ( x 2 n + y 2 n )

，
∴

bn+1

bn

=

2

2

（常數），
∴{b_n}是等比數列，其中b₁=|a₁|=

2

，公比q=

2

2

，
∴bn=

2

•(

2

2

)n-1=2

2-n

2

．（5分）

（II）∵cm=2

2-m

2

log22

2-m

2

=

2-m

2

•2

2-m

2

，
∴cm+1=

2-(m+1)

2

•2

2-(m+1)

2

=

1-m

2

•2

1-m

2

，
于是cm+1-cm=

1-m

2

•2

1-m

2

-

2-m

2

•2

2-m

2

=2

1-m

2

(

1-m

2

-

2-m

2

•2

1

2

)，（8分）
∵2

1-m

2

＞0  (m∈N*)，
∴要使c_m+1＞c_m，只須使

1-m

2

＞

2-m

2

•2

1

2

，即1-m＞

2

(2-m)，
解得m＞

2 2 -1

2 -1

=3+

2

＞4.414．（11分）
∵m是正整數，
∴m≥5，m∈N^*，
∴m的最小值為5．（12分）

點評：（I）此問重在考查等比數列的定義及等比數列的通項公式
（II）此處重在考查了對數的運算性質進而準確求出c_n的通項，之后又考查了建立m的不等式及解不等式