Question

M是滿足下列條件的集合：①f（x）定義域R，②存在a＜b使f（x）在（-∞，a），（b，+∞）內單調遞增，在（a，b）內單調遞減．對于函數f1(x)=x|x-2|，f2(x)=

t-x

x2+1

(t為常數）．下列說法正確的是（　　）

A．f₁（x）∈M，f₂（x）?M

B．f₁（x）?M，f₂（x）∈M

C．f₁（x）∈M，f₂（x）∈M

D．f₁（x）?M，f₂（x）?M

Answer 1

分析：對于函數f₁（x）=

x(x-2)，x≥2 x(2-x)，x＜2

，結合函數的圖象可知f₁（x）∈M；對于函數f₂（x），滿足①f（x）定義域R，不滿足②存在a＜b使f（x）在（-∞，a），（b，+∞）內單調遞增，在（a，b）內單調遞減．

解答：解：對于函數f₁（x）=

x(x-2)，x≥2 x(2-x)，x＜2

，滿足：①f（x）定義域R，②f（x）在（-∞，1），（2，+∞）內單調遞增，在（1，2）內單調遞減，故f₁（x）∈M；
對于函數f₂（x），滿足：①f（x）定義域R，求導函數可得：f₂′（x）=

x2-2tx-1

(x2+1)2

，因為x²-2tx-1=0不一定有解，∴不一定存在a＜b使f（x）在（-∞，a），（b，+∞）內單調遞增，在（a，b）內單調遞減．故f₂（x）∉M
綜上知，f₁（x）∈M，f₂（x）∉M
故選A

點評：本題考查新定義，考查函數的單調性，解題的關鍵是對新定義的理解，屬于基礎題．