Question

化簡下列各題：
（1）sin2αsin2β+cos2αcos2β-

1

2

cos2αcos2β；
（2）tan(x+

π

4

)+tan(x-

π

4

)；
（3）

sin3α+4cos2α+3sinα-4

cos3α-4sin2α+5cosα

．

Answer 1

分析：（1）利用平方關系及二倍角公式將三角函數化為α，β的余弦，化簡得到值．
（2）將正切化為正弦、余弦；再利用兩角和差的正弦余弦公式化簡三角函數式．
（3）利用三倍角公式，將分子化為α的正弦；分母化為α的余弦，化簡整理得值．

解答：解：（1）sin2αsin2β+cos2αcos2β-

1

2

cos2αcos2β
=（1-cos²α）（1-cos²β）+cos²αcos²β-

1

2

(2cos2α-1)(2cos2β-1)
=1-cos²α-cos²β+2cos²αcos²β-2cos2αcos2β+cos2β+cos2α-

1

2

=

1

2

（2）tan(x+

π

4

)+tan(x-

π

4

)
=

tanx+1

1-tanx

+

tanx-1

1+tanx

sinx+cosx

cosx-sinx

+

sinx-cosx

cosx+sinx

(sinx+cosx)2+(sinx-cosx)(cosx-sinx)

(cosx-sinx)(cosx+sinx)

=2tan2x
（3）

sin3α+4cos2α+3sinα-4

cos3α-4sin2α+5cosα

=

3sinα-4sin3α+4(1-2sin2α)+3sinα-4

4cos3α-3cosα-4sin2α+5cosα

=tanα

點評：本題考查利用三角函數的二倍角公式、三倍角公式、和差角公式及切割化弦的途徑化簡三角函數．