Question

已知函數，其中實數a為常數．
(I)當a=-l時，確定的單調區間：
(II)若f(x)在區間（e為自然對數的底數）上的最大值為-3，求a的值；
(Ⅲ)當a=-1時，證明．

Answer 1

(Ⅰ)在區間上為增函數，在區間上為減函數.(Ⅱ). (Ⅲ) 見解析.

試題分析：(Ⅰ)通過求導數，時，時，，單調函數的單調區間.
(Ⅱ)遵循“求導數，求駐點，討論區間導數值正負，確定端點函數值，比較大小”等步驟，得到的方程.注意分①；②；③，等不同情況加以討論.
(Ⅲ) 根據函數結構特點，令，利用“導數法”，研究有最大值，根據, 得證.
試題解析：(Ⅰ)當時，,∴，又,所以
當時，在區間上為增函數，
當時，，在區間上為減函數，
即在區間上為增函數，在區間上為減函數.    4分
(Ⅱ)∵，①若，∵,則在區間上恒成立，
在區間上為增函數，，∴，舍去;
②當時，∵，∴在區間上為增函數，
，∴，舍去;
③若，當時，在區間上為增函數，
當時， ，在區間上為減函數，
，∴.
綜上.                                    9分
(Ⅲ) 由(Ⅰ)知，當時，有最大值，最大值為，即，
所以，                              10分
令，則，
當時，，在區間上為增函數，
當時，，在區間上為減函數，
所以當時，有最大值，12分
所以,
即.                            13分