Question

設C₁是以F為焦點的拋物線y²=2px（p＞0），C₂是以直線與為漸近線，以為一個焦點的雙曲線．
（1）求雙曲線C₂的標準方程；
（2）若C₁與C₂在第一象限內有兩個公共點A和B，求p的取值范圍，并求的最大值； 
（3）若△FAB的面積S滿足，求p的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設雙曲線C₂的標準方程，利用C₂是以直線與為漸近線，以為一個焦點的雙曲線，及a²+b²=c²，即可求得雙曲線C₂的標準方程；
（2）將拋物線y²=2px代入，整理可得2x²-3px+6=0，根據C₁與C₂在第一象限內有兩個公共點A和B，即可確定p的取值范圍，從而求出的最大值； 
（3）直線AB的方程為（x-x₁），求出F到直線AB的距離，從而可求面積S，根據，建立方程，即可求得結論．
解答：解：（1）設雙曲線C₂的標準方程為
∵C₂是以直線與為漸近線，以為一個焦點的雙曲線．
∴，
∵a²+b²=c²，
∴
∴雙曲線C₂的標準方程為；
（2）將拋物線y²=2px代入，整理可得2x²-3px+6=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞0，y₁＞0，x₂＞0，y₂＞0），則
∴
∵+y₁y₂==
∴當且僅當p=2時，的最大值為9；
（3）直線AB的方程為（x-x₁），即x-y-×x₁+y₁=0
∴F到直線AB的距離為d=
∴=
∵，
∴（）=
∴p=．
點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查拋物線與雙曲線的位置關系，考查三角形面積的計算，綜合性強，難度大．