Question

（08年湖北卷文）（本小題滿分12分）

已知函數（為常數，且）有極大值9。

（1）       求的值；

（2）       若斜率為－5的直線是曲線的切線，求此直線方程。

Answer 1

解：(Ⅰ) f’(x)＝3x²+2mx－m²=(x+m)(3x－m)=0,則x=－m或x=m,

    當x變化時，f’(x)與f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞,－m)	－m	(－m,)		(,+∞)
f’(x)	+	0	－	0	+
f (x)		極大值		極小值

從而可知，當x=－m時，函數f(x)取得極大值9，

即f(－m)＝－m³+m³+m³+1=9,∴m＝2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x³+2x²－4x+1,

依題意知f’(x)＝3x²＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.

又f(－1)＝6，f(－)＝，

所以切線方程為y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，

即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.

【試題解析】本題主要考查應用導數研究函數的性質的方法和運算能力。

【高考考點】函數的性質與切線方程的求法。

【易錯提醒】忽略“為常數，且”

【備考提示】函數的本質在于把握函數的性質.