Question

已知首項為的等比數列的前n項和為, 且成等差數列.
(Ⅰ) 求數列的通項公式;
(Ⅱ) 證明.

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ)見解析

(Ⅰ)設等比數列的公比為，因為成等差數列，所以
S₄ + 2S₂ =4S₄ – S₃，即，于是，又=，
所以等比數列的通項公式為=.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，所以=，
當n為奇數時，隨n的增大而減小，所以=；
當n為偶數時，隨n的增大而增大，所以=，
故對于，有.
本題第（Ⅰ）問，由S₃ + a₃, S₅ + a₅, S₄ + a₄成等差數列可以求出公比，進而由等比數列的通項公式求出結果；第(Ⅱ)問，先求出，然后分n為奇數與偶數討論得出數列的最大項與最小項的值.對第（Ⅰ）問，要注意細心計算；第二問，注意分n為奇數與偶數兩種情況討論.
【考點定位】本小題主要考查等差數列的概念，等比數列的概念、通項公式、前n項和公式，數列的基本性質等基礎知識，考查分類討論的思想，考查運算能力、分析問題和解決問題的能力.