Question

如圖，△ABC中，∠B=

2π

3

，AC=2，∠A=θ，設△ABC的面積為f（θ）．
（Ⅰ）若θ=

π

12

，求AB的長；
（Ⅱ）求f（θ）的解析式，并求f（θ）的單調區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據三角形的內角和定理，由∠A和∠B，求出∠C的度數，然后利用正弦定理，由AC，sinB和sinC的值，即可求出AB的長；
（Ⅱ）根據正弦定理，由AC，sinB和sinC，表示出AB，然后利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把表示出的AB代入，利用兩角差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值，以及二倍角的正弦、余弦函數公式和兩角和的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據θ的范圍，求出2θ+

π

6

的范圍，根據正弦函數的單調區間，即可得到f（θ）的單調區間．

解答：解：（Ⅰ）∠C=

π

3

-

π

12

=

π

4

，由正弦定理知：

AB

sinC

=

AC

sinB

∴AB=AC•

sin π 4

sin 2π 3

=

2 6

3

（Ⅱ）由正弦定理知：

AB

sinC

=

AC

sinB

，
∴AB=AC•

sin( π 3 -θ)

sin 2π 3

=

4 3

3

sin(

π

3

-θ)，
∴f(θ)=S△ABC=

1

2

AB•AC•sinA=

4 3

3

sinθsin(

π

3

-θ)，(0＜θ＜

π

3

)
∴f(θ)=

4 3

3

sinθsin(

π

3

-θ)=

4 3

3

sinθ(

3

2

cosθ-

1

2

sinθ)
=2sinθcosθ-

2 3

3

sin2θ=sin2θ-

3

3

(1-cos2θ)
=sin2θ+

3

3

cos2θ-

3

3

=

2 3

3

sin(2θ+

π

6

)-

3

3

，
又0＜θ＜

π

3

，
∴

π

6

＜2θ+

π

6

＜

5π

6

，
由

π

6

＜2θ+

π

6

≤

π

2

得0＜θ≤

π

6

，由

π

2

＜2θ+

π

6

＜

5π

6

得

π

6

＜θ＜

π

3

，
∴f（θ）在區間(0，

π

6

]上是增函數，在區間(

π

6

，

π

3

)上是減函數．

點評：此題考查學生利用運用正弦定理及三角形的面積公式化簡求值，熟練掌握三角函數的恒等變換，掌握正弦函數的單調區間，是一道中檔題．