Question

（2013•韶關二模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

a2-1

=1（a＞1）的左右焦點為F₁，F₂，拋物線C：y2=2px以F₂為焦點且與橢圓相交于點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），點M在x軸上方，直線F₁M與拋物線C相切．
（1）求拋物線C的方程和點M、N的坐標；
（2）設A，B是拋物線C上兩動點，如果直線MA，MB與y軸分別交于點P，Q．△MPQ是以MP，MQ為腰的等腰三角形，探究直線AB的斜率是否為定值？若是求出這個定值，若不是說明理由．

Answer 1

分析：（1）由c²=a²-b²即可得到橢圓的焦點，進而得到p即拋物線的方程，設點M的坐標寫出方程，與拋物線的方程聯立，消去一個未知數得到關于另一個未知數的一元二次方程，由相切得到判別式△=0即可求出；
（2）設A(

y 2 1

4

，y1)，B(

y 2 2

4

，y2)．即可表示出k_MA，k_MB，由△MPQ是以MP，MQ為腰的等腰三角形，可得k_MA=-k_MB．進而可證明k_AB為定值．

解答：解：（1）由橢圓方程得半焦距c=

a2-(a2-1)

=1．
∴橢圓焦點為F₁（-1，0），F₂（1，0）．
又拋物線C的焦點為(

p

2

，0)，∴

p

2

=1，解得p=2．∴拋物線C的方程：y²=4x．
∵點M（x₁，y₁）在拋物線C上，
∴

y

2 1

=4x1，直線F₁M的方程為y=

y1

x1+1

(x+1)．
代入拋物線C得

y

2 1

(x+1)2=4x(x1+1)2，即4x1(x+1)2=4x(x1+1)2．
∴x1x2-(

x

2 1

+1)x+x1=0         
∵F₁M與拋物線C相切，∴△=(

x

2 1

+1)2-4

x

2 1

=0，∴x₁=1．
∴M、N的坐標分別為（1，2）、（1，-2）．    
（2）直線AB的斜率為定值-1．
證明如下：設A(

y 2 1

4

，y1)，B(

y 2 2

4

，y2)．
則kMA=

y1-2

y 2 1 4 -1

=

4

y1+2

，同理kMB=

4

y2+2

，
∵△MPQ是以MP，MQ為腰的等腰三角形，∴k_MA=-k_MB．
即

4

y1+2

+

4

y2+2

=0，
化為y₁+y₂+4=0得y₁+y₂=-4．
∴k_AB=

y2-y1

y 2 2 4 - y 2 1 4

=

4

y1+y2

=

4

-4

=-1．
所以直線AB的斜率為定值-1．

點評：熟練掌握橢圓、拋物線的標準方程及其性質、直線與曲線相交相切問題轉化為方程聯立得到一元二次方程得根與系數的關系及△≥0、△MPQ是以MP、MQ為腰的等腰三角形可得k_MA=-k_MB等設解題的關鍵．