Question

選做題（請考生在以下三個小題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
（1）已知曲線C的參數方程為

x=1+2t y=at2

（t為參數，a∈R），點M（5，4）在曲線C 上，則曲線C的普通方程為

 

．
（2）已知不等式x+|x-2c|＞1的解集為R，則正實數c的取值范圍是

 

．
（3）如圖，PC切圓O于點C，割線PAB經過圓心A，PC=4，PB=8，則S_△OBC

 

．

Answer 1

分析：（1）把點M（5，4）的坐標代入曲線C的參數方程可得 a=1，故曲線C的參數方程為

x=1+2t y=t2

，消去參數t，化為普通方程為（x-1）²=4y．
 （2）已知不等式|x|+|x-2c|＞1的解集為R，而|x|+|x-2c|表示數軸上的x對應點到0和到2c對應點的距離之和，其最小值等于正實數2c，故2c＞1，從而得到c的范圍．
（3）設圓的半徑等于 r，則由切割線定理可得 PC²=PB•PA，求出 r 的值，可得cos∠COP，從而得到cos∠COB，利用同角三角函數的基本關系得到sin∠COB的值，由S_△OBC=

1

2

 r² sin∠COB求出結果．

解答：解：（1）把點M（5，4）的坐標代入曲線C的參數方程可得a=1，
故曲線C的參數方程為

x=1+2t y=t2

，
化為普通方程為 （x-1）²=4y，
故答案為（x-1）²=4y．
（2）已知不等式|x|+|x-2c|＞1的解集為R，
而|x|+|x-2c|表示數軸上的x對應點到0和到2c對應點的距離之和，
其最小值等于 正實數2c，
故2c＞1，∴c＞

1

2

，
故答案為c＞

1

2

．
（3）設圓的半徑等于r，則由切割線定理可得PC²=PB•PA，∴16=8（8-2r），
∴r=3．  
故cos∠COP=

OC

OP

=

3

8-3

=

3

5

，∴cos∠COB=-

3

5

，
∴sin∠COB=

4

5

，則S_△OBC=

1

2

 r² sin∠COB=

18

5

，
故答案為 

18

5

．

點評：本題考查把參數方程化為普通方程的方法，絕對值的意義，絕對值不等式的解法，切割線定理，同角三角函數的基本關系，求出圓的半徑，是解題的關鍵．