Question

已知拋物線y²=4x截直線y=2x+b所得的弦長為|AB|=3

5

．
（1）求b的值；
（2）在x軸上求一點P，使△APB的面積為39．

Answer 1

分析：（2）將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數(shù)的關系利用弦長公式即可求得b值，從而解決問題．
（2）設P（a，0），先求點P（a，0）到AB：2x-y-4=0距離，再根據(jù)

1

2

|AB|d=39，求出a 值，可求P得坐標．

解答：解：（1）聯(lián)立方程組

y 2=4x y=2x+b

，消去y得方程：4x²+（4b-4）x+b²=0
x₁+x₂=1-b．x₁x₂=

b 2

4

|AB|=

5

(x 1+x 2) 2-4x 1x 2

=

5

(1-b) 2-b 2

=3

5

解得b=-4--------------------（8分）
（2）將b=-4代入直線y=2x+b得AB所在的直線方程為2x-y-4=0
設P（a，0），則P到直線AB的距離為d=

|2a-4|

5

；
△APB的面積S=

1

2

×

|2a-4|

5

×3

5

=39
則a=-11或15
所以P點的坐標為（-11，0）或（15，0）------------（16分）

點評：本題主要考查了直線與拋物線相交求解弦長，關鍵是根據(jù)方程的根與系數(shù)的關系表示由AB=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，這是圓錐曲線的考查的熱點之一．