Question

已知函數f(x)＝ln x＋ax(a∈R)．

(1)求f(x)的單調區間；

(2)設g(x)＝x2－4x＋2，若對任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范圍．

 

Answer 1

(1) f(x)的單調遞增區間為，單調遞減區間為 (2)

【解析】(1)f′(x)＝a＋＝ (x＞0)．

①當a≥0時，由于x＞0，故ax＋1＞0，

f′(x)＞0，

所以f(x)的單調遞增區間為(0，＋∞)．

②當a＜0時，由f′(x)＝0，得x＝－.

在區間上，f′(x)＞0，在區間上，f′(x)＜0，所以函數f(x)的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

(2)由題意得f(x)max＜g(x)max，而g(x)max＝2，

由(1)知，當a≥0時，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，值域為R，故不符合題意．

當a＜0時，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，

故f(x)的極大值即為最大值，f＝－1＋ln＝－1－ln(－a)，所以2＞－1－ln(－a)，解得a＜－.

故a的取值范圍為.