Question

已知函數f（x）=2^x-P•2^-x，則下列結論正確的是（　　）

A．P=1，f（x）為奇函數且為R上的減函數

B．P=-1，f（x）為偶函數且為R上的減函數

C．P=1，f（x）為奇函數且為R上的增函數

D．P=-1，f（x）為偶函數且為R上的增函數

Answer 1

分析：根據函數奇偶性的定義可判定f（x）的奇偶性，根據增函數減去減函數還是增函數可得結論．

解答：解：當P=1時，f（x）=2^x-2^-x，定義域為R且f（-x）=2^-x-2^x=-f（x）
∴f（x）為奇函數
∵2^x是R上的增函數，2^-x是R的減函數
∴f（x）=2^x-2^-x為R上的增函數，故選項C正確；
當P=1時，f（x）=2^x+2^-x，定義域為R且f（-x）=2^-x+2^x=f（x）
∴f（x）為偶函數，
根據1＜2，f（1）＜f（2）則f（x）在R上的不是減函數；
根據-2＜-1，f（-2）＞f（-1）則f（x）在R上的不是增函數；
故選項B、D不正確
故選C．

點評：本題主要考查了函數的奇偶性的判定，以及函數單調性的判定，同時考查了分析問題的能力，屬于基礎題．