Question

設函數f（x）=ax³+bx+cx+d的圖象與y軸的交點為點P，且曲線在點P處的切線方程為12x-y-4=0，若函數在x=2處取得極值0，試求函數的單調區間．

Answer 1

解：∵點P在切線12x-y-4=0上，∴P（0，-4），∴d=-4．
f'（x）=3ax²+2bx+c，∴f'（0）=12，∴c=12．（4分）
又f'（2）=0，f（2）=0，得a=2，b=-9．（6分）
f（x）=2x³-9x²+12x-4，f'（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2），（8分）
f（x）的單調遞增區間是（-∞，1）和（2，+∞），單調遞減區間是（1，2）
分析：根據切點既在切線上又在函數f（x）的圖象上，即可求出d，根據導數的幾何意義可知函數在x=0處的導數即為切線的斜率，求出c，再根據函數在x=2處取得極值0，建立f'（2）=0，f（2）=0，求出a和b，從而求出函數f（x）的解析式，最后解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可求出函數的單調區間．
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數研究函數的極值和單調性等基礎題知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．