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已知曲線 y=
1
3
x3+2x-
2
3
．
（1）求曲線在點P（2，6）處的切線方程；
（2）求曲線過點P（2，6）的切線方程．
（1）由題意得，y′=x2+2，
∴在點P（2，6）處的切線的斜率k=y′|x=2=6，
∴在點P（2，6）處的切線方程為：y-6=6（x-2）
即 6x-y-6=0，
（2）設曲線y=
1
3
x3+2x-
2
3
與過點P（2，6）的切線相切于點A(x0，
1
3
x30
+2x0-
2
3
)，
則切線的斜率k=y′|x=x0=
x20
+2，
∴切線方程為y-(
1
3
x30
+2x0-
2
3
)=(
x20
+2)(x-x0)，
即y=(
x20
+2)x-
2
3
x30
-
2
3
  ①，
∵點P（2，6）在切線上，∴6=2(
x20
+2)-
2
3
x30
-
2
3
，
即
x30
-3
x20
+4=0，∴
x30
+
x20
-4
x20
+4=0，
∴
x20
(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0，化簡得(x0+1)(x0-2)2=0
解得x0=-1或x0=2，代入①得，y=3x或y=6x-6，
故所求的切線方程為3x-y=0，6x-y-6=0．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知曲線C：f（x）=x3+1，則與直線y=-
1
3
x-4垂直的曲線C的切線方程為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•紅橋區一模）已知函數f（x）=ax3-3x2+1-
3
a
（a≠0）
（Ⅰ）若f（x）的圖象在x=-1處的切線與直線y=-
1
3
x+1垂直，求實數a的取值；
（Ⅱ）求函數y=f（x）的單調區間；
（Ⅲ）若a=1時，過點M（2，m）（m≠-6），可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
2
x
+alnx-2．
（1）若曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=
1
3
x+1垂直，求實數a的值；
（2）在（1）的條件下，求函數f（x）的單調區間．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知曲線C：f（x）=x3+1，則與直線y=-
1
3
x-4垂直的曲線C的切線方程為（　　）
A．3x-y-1=0B．3x-y-3=0
C．3x-y-1=0或3x-y+3=0D．3x-y-1=0或3x-y-3=0

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