Question

有一塊邊長為6m的正方形鋼板，將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后焊接成一個無蓋的蓄水池．
（Ⅰ）寫出以x為自變量的容積V的函數解析式V（x），并求函數V（x）的定義域；
（Ⅱ）指出函數V（x）的單調區間；
（Ⅲ）蓄水池的底邊為多少時，蓄水池的容積最大？最大容積是多少？

Answer 1

解：（Ⅰ）設蓄水池的底面邊長為a，
則a=6-2x，
則蓄水池的容積為：V（x）=x（6-2x）²．
由，
得函數V（x）的定義域為x∈（0，3）．（4分）
（Ⅱ）由V（x）=x（6-2x）²=4x³-24x²+36x，
得V'（x）=12x²-48x+36．
令V'（x）=12x²-48x+36＞0，
解得x＜1或x＞3；
令V'（x）=12x²-48x+36＜0，解得1＜x＜3．
∵函數V（x）的定義域為x∈（0，3），
∴函數V（x）的單調增區間是：（0，1）；函數V（x）的單調減區間是：（1，3）．
（Ⅲ）令V'（x）=12x²-48x+36=0，
得x=1或x=3（舍）．
并求得V（1）=16．
由V（x）的單調性知，16為V（x）的最大值．
故蓄水池的底邊為4m時，蓄水池的容積最大，其最大容積是16m³．（12分）
分析：（Ⅰ）設蓄水池的底面邊長為a，則a=6-2x，則蓄水池的容積為：V（x）=x（6-2x）²．由此能寫出以x為自變量的容積V的函數解析式V（x），并求出函數V（x）的定義域；
（Ⅱ）由V（x）=x（6-2x）²=4x³-24x²+36x得V'（x）=12x²-48x+36．由此能求出函數V（x）的單調區間；
（Ⅲ）令V'（x）=12x²-48x+36=0，得x=1或x=3（舍）．并求得V（1）=16．由V（x）的單調性知，16為V（x）的最大值．由此能求出蓄水池的底邊為多少時，蓄水池的容積最大和最大容積是多少．
點評：本題考查函數模型的選擇與應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地運用導數解題．易錯點是理不清數量間的相互關系，不能正確地建立方程．再求單調區間時要注意函數的定義域．