Question

一鐵棒欲水平通過如圖所示的直角走廊，試回答下列問題：
（1）用θ表示鐵棒的長度L（θ）；
（2）若鐵棒能通過該直角走廊，求鐵棒長度的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形中的函數，即可用θ表示鐵棒的長度L（θ）；
（2）解法一，利用換元法，確定函數單調遞減；解法二：利用導數，確定函數的單調性，即可得到結論．

解答：解：（1）根據題中圖形可知，L(θ)=

2

cosθ

+

2

sinθ

，θ∈(0，

π

2

)．…（4分）
（2）本題即求L（θ）的最小值．…（5分）
解法一：L(θ)=

2

cosθ

+

2

sinθ

=2

sinθ+cosθ

sinθ•cosθ

，
令t=sinθ+cosθ，t∈(1，

2

]，原式可化為L(t)=

4t

t2-1

=

4

t- 1 t

…（9分）
因為L（t）為減函數，所以L(t)≥L(

2

)=4

2

．…（11分）
所以鐵棒的最大長度為4

2

m．…（12分）
解法二：因為

L(θ)= -2cosθ sin2θ + 2sinθ cos2θ

，所以

L′(θ)= -2cosθ sin2θ + 2sinθ cos2θ = 2(sin3θ-cos3θ) sin2θcos2θ

=

2(sinθ-cosθ)(sin2θ+sinθcosθ+cos2θ)

sin2θcos2θ

…（9分）
因為θ∈(0，

π

2

)，所以θ∈(0，

π

4

]時，L（θ）為減函數，θ∈[

π

4

，

π

2

)時，L（θ）為增函數，所以L(θ)min=L(

π

4

)=4

2

，…（12分）

點評：本題考查函數模型的構建，考查導數知識的運用，確定函數的單調性是關鍵．