Question

定義函數F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞）．
（1）令函數f（x）=F[1，log2(x3-3x)]的圖象為曲線C₁求與直線4x+15y-3=0垂直的曲線C₁的切線方程；
（2）令函數g（x）=F[1，log2(x3+ax2+bx+1)]的圖象為曲線C₂，若存在實數b使得曲線C₂在x₀（x₀∈（1，4））處有斜率為-8的切線，求實數a的取值范圍；
（3）當x，y∈N^*，且x＜y時，證明F（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

分析：（1）由函數F（x，y）的定義可求得f（x），根據垂直關系可得切線斜率即f′（x）值，從而可求得切點坐標，求出切線方程．
（2）曲線C₂在x₀（x₀∈（1，4））處存在斜率為-8的切線，即g′（x₀）=-8有解，由已知消去b轉化為關于a，x的不等式即可解得．
（3）F（x，y）＞F（y，x）?（1+x）^y＞（1+y）^x?yln（1+x）＞xln（1+y）?

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

，構造函數h（x）=

ln(1+x)

x

，利用導數判斷h（x）單調遞減即可．

解答：解：（1）f（x）=F[1，log2(x3-3x)]=(1+1)log2(x3-3x)=x³-3x，
由log2(x3-3x)＞0，得x³-3x＞1．又f′(x)=3x2-3=

15

4

，由f′（x）=0，得x=±

3

2

，
∵x³-3x＞1，∴x=-

3

2

．又f（-

3

2

）=

9

8

，∴切點為（-

3

2

，

9

8

）．
∴存在與直線4x+15y-3=0垂直的切線，其方程為y-

9

8

=

15

4

(x+

3

2

)，即15x-4y+27=0．
（2）g（x）=[1，log2(x3+ax2+bx+1)]=x³+ax²+bx+1．
由log2(x3+ax2+bx+1)＞0，得x³+ax²+bx＞0，
由g′（x）=3x²+2ax+b=-8，得b=-3x²-2ax-8，
x³+ax²+bx=x³+ax²+x（-3x²-2ax-8）=-2x³-ax²-8x＞0在（1，4）上有解，
∴2x²+ax+8＜0在（1，4）上有解，即a＜-2x-

8

x

在（1，4）上有解，∴a＜(-2x-

8

x

)max（1＜x＜4），
而-2x-

8

x

=-（2x+

8

x

）≤-2

2x• 8 x

=-8，當且僅當x=2時取等號，∴a＜-8．
故實數a的取值范圍為（-∞，-8）．
證明：（3）F（x，y）＞F（y，x）?（1+x）^y＞（1+y）^x?yln（1+x）＞xln（1+y）?

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

，
令h（x）=

ln(1+x)

x

，則h′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，當x≥2時，

x

1+x

＜1＜ln(1+x)，
∴h′（x）＜0，h（x）單調遞減．
∴當2≤x＜y時，h（x）＞h（y），又當x=1且y=2時，h（1）=ln2＞

1

2

ln3=h(2)．
故當x，y∈N^*，且x＜y時，h（x）＞h（y），即F（x，y）＞F（y，x）．

點評：本題考查了導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性，運用所學知識解決新問題的能力．