Question

已知函數f（x）=2sinx（cosx-sinx）．
（1）當0＜x＜π時，求f（x）的最大值及相應的x值；                          
（2）利用函數y=sinx的圖象經過怎樣的變換得到f（x）的圖象．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與差的正弦將f（x）化簡為f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）-1，由0＜x＜π，即可求得f（x）的最大值及相應的x值；
（2）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換即可求得函數y=sinx的圖象經過怎樣的變換得到f（x）的圖象．

解答：解：（1）∵f（x）=2sinx（cosx-sinx）
=2sinxcosx-2sin²x
=sin2x+cos2x-1
=

2

sin（2x+

π

4

）-1，
∵0＜x＜π，
∴

π

4

＜2x+

π

4

＜

9π

4

，
∴當2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

時，f（x）有最大值

2

-1；
∴f（x）最大值是

2

-1，相應的x的值x=

π

8

；
（2）函數y=sinx的圖象向左平移

π

4

個單位，得到y=sin（x+

π

4

）的圖象，
再把y=sin（x+

π

4

）的圖象上的點橫坐標變為原來的

1

2

倍，得到y=sin（2x+

π

4

）的圖象，
再把y=sin（2x+

π

4

）的圖象上的點縱坐標變為原來的

2

倍，
得到y=

2

sin（2x+

π

4

）的圖象，
最后把y=

2

sin（2x+

π

4

）的圖象向下平移1個單位得到y=

2

sin（2x+

π

4

）-1的圖象．

點評：本題考查兩角和與差的正弦，著重考查二倍角的正弦與余弦，突出考查y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于中檔題．