Question

已知函數, .

（1）若, 函數 在其定義域是增函數，求的取值范圍；

（2）在（1）的結論下，設函數的最小值；

（3）設函數的圖象與函數的圖象交于點，過線段的中點作軸的垂線分別交、于點、，問是否存在點，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出的橫坐標；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當時，的最小值為；當時，的最小值為；當時，的最小值為；（3）不存在點.

【解析】

試題分析：本題主要考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性、不等式基礎知識，考查函數思想、構造函數思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用導數研究函數的單調性，轉化為恒成立問題，再轉化為求函數最值問題；第二問，利用配方法求最值，討論對稱軸與區間端點的大小，本問突出體現了分類討論思想的運用；第三問，把問題坐標化，用反證法證明，利用切線平行，列出方程，構造函數，判斷單調性求最值，得出矛盾.

試題解析：（1）依題意：在上是增函數，

對恒成立，        2分

∴

∵,則.

∴的取值范圍為                    4分

（2）設，則函數化為

∵

∴當，即時，函數在上為增函數.

當時，；                      6分

當，即時，當時，；

當，即時，函數在上是減函數.

當時，                        8分

綜上所述，當時，的最小值為.

當時，的最小值為.

當時，的最小值為.               9分

（3）設點的坐標是且則點的橫坐標為

在點處的切線斜率為

在點處的切線斜率為        10分

假設在點處的切線與在點處的切線平行，則

則                       11分

則

設，則  ①                12分

令，則

∵，∴，所以在上單調遞增，

故，則.

這與①矛盾，假設不成立.故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行.                                  14分

考點：1.函數的單調性；2.基本不等式；3.配方法求最值；4.反證法.