Question

如圖，F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點，A，B分別是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為

1

2

，點C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F三點確定的圓M恰好與直線l1：x+

3

y+3=0相切
（1）求橢圓的方程；
（2）過點A的直線l₂與圓M交于P，Q兩點，且

MP

•

MQ

=-2，求直線l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）因為橢圓的離心率為

1

2

，所以

c

a

=

1

2

，所以A(-2c，0)，B(0，

3

c)，F(-c，0)．kBF=

3

，故kBC=-

3

3

，所以BC得方程為y=-

3

3

x+

3

c，由此入手能得到所求的橢圓方程．
（2）因為

MP

•

MQ

=|

MP

||

MQ

|cos∠PMQ=2×2cos∠PMQ=-2，所以∠PMQ=120°．所以M到直線l₂的距離等于1．依題意，直線l₂的斜率存在，設直線l₂：y=k（x+2），所以

|k+2k|

k2+1

=1，由此能得到所求的直線l₂的方程．

解答：解：（1）因為橢圓的離心率為

1

2

，所以

c

a

=

1

2

，即a=2c，b=

3

c（2分）
所以A（-2c，0），B(0，

3

c)，F(-c，0)．kBF=

3

，故kBC=-

3

3

，
所以BC得方程為y=-

3

3

x+

3

c（4分）
令y=0，得x=3c，即C（3c，0），所以圓M的半徑為

1

2

FC=2c，圓心M（c，0）
因為圓M恰好與直線l1：x+

3

y+3=0相切，
所以

|c+3|

2

=2c，∴c=1，∴a=2，b=

3

故所求的橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1（8分）
（2）因為

MP

•

MQ

=|

MP

||

MQ

|cos∠PMQ=2×2cos∠PMQ=-2，
所以∠PMQ=120°．所以M到直線l₂的距離等于1（11分）
依題意，直線l₂的斜率存在，設直線l₂：y=k（x+2），即kx-y+2k=0
所以

|k+2k|

k2+1

=1，解得k=±

2

4

，
故所求的直線l₂的方程為y=±

2

4

(x+2)（15分）

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要注意公式的合理運用．