Question

已知a，b為兩個正數，且a＞b，設a₁=，b₁=，當n≥2，n∈N^*時，a_n=，b_n=．
（Ⅰ）求證：數列{a_n}是遞減數列，數列{b_n}是遞增數列；
（Ⅱ）求證：a_n+1-b_n+1＜（a_n-b_n）；
（Ⅲ）是否存在常數C＞0使得對任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C，若存在，求出C的取值范圍；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）易知對任意n∈N^*，a_n＞0，b_n＞0．根據基本不等式可知對任意n∈N^*，a_n＞b_n，判定符號可得數列{a_n}的單調性，，從而得到數列{b_n}的單調性； 
（II）根據題意可知，然后利用放縮法即可證得結論；
（III）若存在常數C＞0使得對任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C，則對任意n∈N^*，，即對任意n∈N^*成立，設[x]表示不超過x最大整數，則有，即當時，與對任意n∈N^*成立矛盾．從而所以，不存在常數C＞0使得對任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C．
解答：（共13分）
（Ⅰ）證明：易知對任意n∈N^*，a_n＞0，b_n＞0．
由a≠b，可知，即a₁＞b₁．
同理，，即a₂＞b₂．
可知對任意n∈N^*，a_n＞b_n．，
所以數列{a_n}是遞減數列．，
所以數列{b_n}是遞增數列．              …（5分）
（Ⅱ）證明：．…（10分）
（Ⅲ）解：由，可得．
若存在常數C＞0使得對任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C，
則對任意n∈N^*，．
即對任意n∈N^*成立．
即對任意n∈N^*成立．
設[x]表示不超過x最大整數，則有．
即當時，．
與對任意n∈N^*成立矛盾．
所以，不存在常數C＞0使得對任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C． …（14分）
點評：本題主要考查了數列的單調性的判定，以及利用放縮法證明不等式，同時考查了橫成立問題，屬于難題．