Question

(理)已知向量p∥q，其中p=(x+c-1,1),q=(ax²+1,y)(a,c,x,y∈R且a＞0,x≠1-c),把其中x,y所滿足的關(guān)系式記為y=f(x).若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x＞0時,f(x)有最小值.

(1)求函數(shù)f(x)的表達式;

(2)設(shè)數(shù)列{a_n},{b_n}滿足如下關(guān)系:a_n+1=,b_n=(n∈N^*),且b₁=,求數(shù)列{b_n}的通項公式,并求數(shù)列{(3n-1)b_n}(n∈N^*)前n項的和S_n.

(文)已知等差數(shù)列{a_n}滿足:a_n+1＞a_n(n∈N^*),a₁=1,該數(shù)列的前三項分別加上1,1,3后順次成為等比數(shù)列{b_n}的前三項.

(1)分別求數(shù)列{a_n},{b_n}的通項公式a_n,b_n;

(2)設(shè)T_n=(n∈N^*),若T_n+＜c(c∈Z)恒成立,求c的最小值.

Answer 1

答案：(理)解:(1)由p∥q,得y(x+c-1)=ax²+1.∴y=f(x)=(a＞0,x≠1-c).

又函數(shù)f(x)為奇函數(shù),有f(-x)=-f(x),可得c=1.當(dāng)x＞0時,f(x)==ax+.

∴.∴a=2.故f(x)=(x≠0).

(2)a_n+1=,

b_n+1=.

∴b_n=b_n-1²=b_n-2⁴=…=.

而b₁=,∴b_n=(n∈N^*).

∴數(shù)列{(3n-1)b_n}的通項為(3n-1)b_n=(3n-1)·2^n-1.

∴S_n=2·2⁰+5·2¹+8·2²+…+(3n-4)·2^n-2+(3n-1)·2^n-1.①

∴2S_n=2·2¹+5·2²+8·2³+…+(3n-4)·2^n-1+(3n-1)·2ⁿ.②

①-②,得-S_n=2+3(2¹+2²+…+2^n-1)-(3n-1)2ⁿ.∴S_n=4+(3n-4)2ⁿ(n∈N^*).

(文)解：(1)設(shè)d、q分別為數(shù)列{a_n}、{b_n}的公差與公比，a₁=1.

由題可知，a₁=1,a₂=1+d,a₃=1+2d,分別加上1,1,3后得2,2+d,4+2d是等比數(shù)列{b_n}的前三項,

∴(2+d)²=2(4+2d)d=±2.

∵a_n+1＞a_n,∴d＞0.∴d=2.∴a_n=2n-1(n∈N^*).

由此可得b₁=2,b₂=4,q=2,∴b_n=2ⁿ(n∈N^*).2分

(2)T_n=,①

當(dāng)n=1時,T₁=;當(dāng)n≥2時,T_n=.②

①-②，得T_n=.

∴T_n=.

∴T_n+=3＜3.

∵(3)在N^*上是單調(diào)遞增的,∴(3)∈［2,3).

∴滿足條件T_n+＜c(c∈Z)恒成立的最小整數(shù)值為c=3.