Question

（2013•虹口區二模）若-

π

2

≤α≤

π

2

，0≤β≤π，m∈R，如果有α³+sinα+m=0，(

π

2

-β)3+cosβ+m=0，則cos（α+β）值為（　　）

• A．-1
• B．0
• C．

  1

  2

• D．1

Answer 1

分析：考查函數f（x）=x³+sinx是奇函數，利用導數求得函數f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上是增函數．令γ=

π

2

-β，由條件可得 f（α）=-m，f（γ）=-m，故α=γ=

π

2

-β，即 α+β=

π

2

，由此求得cos（α+β）的值．

解答：解：考查函數f（x）=x³+sinx，顯然f（x）滿足f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函數．
∵f′（x）=2x²+cosx，∴若-

π

2

≤x≤

π

2

，則 f′（x）=2x²+cosx≥0，
故函數f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上是增函數．
∵α³+sinα+m=0，(

π

2

-β)3+cosβ+m=0，令γ=

π

2

-β，
則有 γ∈[-

π

2

，

π

2

]，γ³+sinγ+m=0．
∴f（α）=-m，f（γ）=-m，故有 f（α）=f（γ）．
根據函數f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上是增函數，可得α=γ=

π

2

-β，即 α+β=

π

2

，
故cos（α+β）=0，
故選B．

點評：本題主要考查利用函數的導數研究函數的單調性，函數的奇偶性的應用，求函數的值，屬于中檔題．