Question

（2012•大連二模）如圖，三棱柱ABC-A′B′C′，cc′=

2

，BC′=

2

，BC=2，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC′B′，E、F分別為棱AB、CC′的中點．
（I）求證：EF∥平面A′BC′；
（Ⅱ）若AC≤

2

，且EF與平面ACC'A'所成的角的余弦為

7

3

，求二面角C-AA'-B的大小．

Answer 1

分析：（I）法一：利用直線與平面平行的判定定理證明EF∥平面A′BC′；
法二：通過建立空間直角坐標系，求出平面A'BC'的法向量，利用向量數量積為證明直線與平面平行．
（Ⅱ）利用走法二的空間直角坐標系，求出平面ACC'A'的法向量，利用EF與平面ACC'A'所成的角的余弦為

7

3

，求出b的值，然后求出平面AA'B的一個法向量，利用向量的數量積求二面角C-AA'-B的大小．

解答：解：（Ⅰ）證法一：取A'B中點M，連接EM、C'M，
又∵E為AB中點，∴EM

∥ .

.

1

2

AA′
∵AA′

∥ .

.

BB′

∥ .

.

CC′，
F為CC'中點，∴FC′

∥ .

.

1

2

AA′，
∴FC′

∥ .

.

EM∴EMCF是平行四邊形，
∴EF∥C'M，…（2分）
又EF?平面A'BC'，C'M?平面A'BC'，∴EF∥平面A'BC'…（4分）
證法二：

∵CC′=BC′= 2 ，BC=2，

∴△CC′B是以BC為斜邊的等腰直角三角形．
取BC中點O，連接AO、C'O有AO⊥BC，C'O⊥BC
∵面ABC⊥面BCC'B'，且面ABC∩面BCC'B'=BC
∴AO⊥面BCC'B'，C'O⊥面ABC
如圖建立空間直角坐標系O-xyz∴C（1，0，0），C'（0，10），A（0，0，b），B（-1，0，0）（b＞0）
∴E(-

1

2

，0，

b

2

)，F(

1

2

，

1

2

，0)，∴

EF

=(1，

1

2

，-

b

2

)
設平面A'BC'的法向量為

n

=(x，y，z)
又

BC′

=(1，1，0)，

A′C′

=

AC

=(1，0，-b)
∴

x+y=0 x-bz=0

∴

n

的一組解為

n

=(b，-b，1)
∴

n

•

EF

=b-

b

2

-

b

2

=0
∴

n

⊥

EF

又EF?平面A'BC'∴EF∥平面A'BC'…（4分）
（Ⅱ）解：利用（Ⅰ）中證法二的坐標系，設平面ACC'A'的法向量為

n1

=(x，y，z)
又

CC′

=(-1，1，0)，

AC

=(1，0，-b)
∴

-x+y=0 x-bz=0

∴

n

1的一組解為

n

1=(b，b，1)…（5分）
又

EF

=(1，

1

2

，-

b

2

)
∴

| n • EF |

| n || EF |

=

b

2b2+1 5 4 + b2 4

=

2

3

…（6分）
解得b=1，b=

10

2

∵AC≤

2

∴b=1…（8分）
同理可求平面AA'B的一個法向量

n

2=(1，1，-1)
∴cos＜

n1

•

n2

＞=

1

3

…（11分）
所以所求二面角的大小為arccos

1

3

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，利用向量的垂直關系以及向量的數量積求解直線與平面所成角以及二面角，考查計算能力．