Question

某地區原森林木材存量為a，且每年增長率為25%，因生產建設的需要每年年底要砍伐的木材量為b，設a_n為n年后該地區森林木材存量
（1）計算a₁，a₂，a₃的值；
（2）由（1）的結果，推測a_n的表達式，并用數學歸納法證明你的結論；
（3）為保護生態環境，防止水土流失，該地區每年的森林木材存量應不少于

7

9

a，如果b=

19

72

a，那么該地區今后會發生水土流失嗎？若會，需要經過幾年？（取lg2≈0.30）

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得a₁=

5

4

a-b，同理可求得a₂=(

5

4

)2a-（

5

4

+1）b，a₃=(

5

4

)3a-[(

5

4

)2+

5

4

+1]b；
（2）由（1）可推測a_n=(

5

4

)na-[(

5

4

)n-1+(

5

4

)n-2+…+

5

4

+1]b=(

5

4

)na-4[(

5

4

)n-1]b（n∈N^*），利用數學歸納法證明即可；
（3）依題意知，(

5

4

)na-4[(

5

4

)n-1]×

19

72

a＜

7

9

a⇒(

5

4

)n＞5，兩邊取對數即可求得n的近似值．

解答：解：（1）a₁=a（1+

1

4

）-b=

5

4

a-b，
a₂=

5

4

a₁-b=

5

4

（

5

4

a-b）-b=(

5

4

)2a-（

5

4

+1）b，
a₃=

5

4

a₂-b=(

5

4

)3a-[(

5

4

)2+

5

4

+1]b，
（2）由（1）可推測
a_n=(

5

4

)na-[(

5

4

)n-1+(

5

4

)n-2+…+

5

4

+1]b
=(

5

4

)na-4[(

5

4

)n-1]b（n∈N^*）．
證明如下：①當n=1時，a₁=a（1+

1

4

）-b=

5

4

a-b，已證推測成立．
②假設n=k時，a_k=(

5

4

)ka-4[(

5

4

)k-1]b（k∈N^*）成立，
則當n=k+1時，
a_k+1=

5

4

a_k-b=

5

4

{(

5

4

)ka-4[(

5

4

)k-1]b}-b
=(

5

4

)k+1a-4[(

5

4

)k+1-1]b，
故當n=k+1時，推測也成立．
由①②知，對n∈N^*推測成立．
（3）當b=

19

72

a時，若該地區今后發生水土流失，則森林木材存量必須少于

7

9

a，
∴(

5

4

)na-4[(

5

4

)n-1]×

19

72

a＜

7

9

a，
即(

5

4

)n＞5．
兩邊取對數得：nlg

5

4

＞lg5，n＞

lg5

lg5-2lg2

=

1-lg2

1-3lg2

≈7，
∴經過8年后該地區就開始水土流失．

點評：本題考查等差數列與等比數列的求和，突出考查數學歸納法的應用，屬于難題．