Question

設第一象限內的點（x，y）滿足約束條件

2x-y-6≤0 x-y+2≥0

，若目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為40，則

5

a

+

1

b

的最小值為：

9

4

．

Answer 1

分析：先根據條件畫出可行域，設z=ax+by，再利用幾何意義求最值，將最大值轉化為y軸上的截距，只需求出直線z=ax+by，過可行域內的點（4，6）時取得最大值，從而得到一個關于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．

解答：解：不等式表示的平面區域陰影部分，
當直線ax+by=z（a＞0，b＞0）過直線x-y+2=0與直線2x-y-6=0的交點（8，10）時，
目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大40，
即8a+10b=40，即4a+5b=20，
而

5

a

+

1

b

=(

5

a

+

1

b

)

4a+5b

20

=

5

4

+(

5b

4a

+

a

5b

)≥

5

4

+1=

9

4

．
當且僅當

5b

4a

=

a

5b

時取等號，
則

5

a

+

1

b

的最小值為

9

4

．
故答案為

9

4

．

點評：本題綜合地考查了線性規劃問題和由基本不等式求函數的最值問題．要求能準確地畫出不等式表示的平面區域，并且能夠求得目標函數的最值．