Question

設函數f（x）滿足f（-x）=f（x），且當x≥0時，f(x)=(

1

4

)x，又函數g（x）=|xsinπx|，則函數h（x）=f（x）-g（x）在[-

1

2

，2]上的零點個數為（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

Answer 1

分析：依題意可知，f（x）、g（x）均為偶函數，將h（x）=f（x）-g（x）在[-

1

2

，2]上的零點個數轉化為f（x）、g（x）在[-

1

2

，2]上的交點個數即可．

解答：解：∵f（-x）=f（x），
∴f（x）為偶函數；
又g（x）=|xsinπx|，
同理可得g（x）為偶函數．
令h（x）=f（x）-g（x）=0，x∈[-

1

2

，2]，
則h（x）=f（x）-g（x）在[-

1

2

，2]上的零點個數就是函數f（x）與g（x）在[-

1

2

，2]上的交點個數．
當x=0時，f（0）=(

1

4

)0=1，g（0）=|0×sin0|=0，f（0）＞g（0）；
當x=

1

2

時，f（

1

2

）=(

1

4

)

1

2

=

1

2

，g（

1

2

）=|

1

2

×sin

π

2

|=

1

2

，f（

1

2

）=g（

1

2

），
∴f（x）與g（x）在[0，

1

2

]上有一個交點；
同理可得，f（x）與g（x）在[

1

2

，1]，[1，

3

2

]，[

3

2

，2]上各有一個交點；
又f（x）、g（x）均為偶函數，
∴f（x）與g（x）在[-

1

2

，0]上有一個交點；
綜上所述，f（x）與g（x）在[-

1

2

，2]上有五個交點．
故選C．

點評：本題考查根的存在性及根的個數判斷，考查函數的奇偶性，考查轉化思想與抽象思維能力的綜合應用，屬于難題．